bölcseleti doktor, műegyetemi rendes tanár, a m. tudom. akadémia rendes tagja, szül. 1846. nov. 9. Nagy-Kőrösön (Pestm.); ugyanott végezte a gymnasiumot; főiskola tanulmányait a bécsi műegyetemen kezdte s 1866-tól a budai József-műegyetemen folytatta, a hol 1869 őszétől kezdve három félévig tanársegéd volt, aztán pedig ugyanannyi ideig Körmöczbányán a főreáliskolában tanár. 1872-74-ben állami ösztöndíjjal a göttingai és heidelbergi egyetemen járt és az utóbbin bölcseleti doktorrá lett. 1874-86-ig a kolozsvári egyetemen az elméleti physika és a mathematika tanára volt. 1886 óta a budapesti József-műegyetemen működik, még pedig 1891-ig mint a mathematikának, azóta pedig az analytikai mechanikának tanára. A m. tudom. Akadémia 1878. jún. 14. levelező, 1900. máj. 4. rendes tagnak választotta. 1870-ben Rothbaum családi nevét Réthire változtatta.
Czikkei a m. tudom. Akadémia Értesítőjében (1874. A diffractio elméletéhez); a Kolozsvári Orvos-Természettudom. Társulat Értesítőjében (1879. A hydrodynamikai nyomás képlete lapra és ékre levezetve Hirschhoff módszere szerint, 1880. Elméleti vizsgálatok a rezgéstan köréből, 1884. A sarkított fény polárosítása); a Poggendorff Annalenjeiben (XII. 1880. Theorie d. Reflexion und Brechung, Ueber die Polarisation d. gebeugten Lichts); a Természettudományi Közlönyben (1884. Az elhajlított fény polározása, 1890. A végszerűen egyenlő területekről, 1892. A kinematikai alapfogalmak megállapítása, a gravitáczió, az elektromosság, a mágnesesség, a fény elméletének közös alapon való tárgyalása, 1894. Folyadék sugarak, 1895-96. A legkisebb akczio elve, 1899. Az erők egyensúlyának föltételei); a m. tud. Akad. Értesítőjében (1885. Megjegyzések Fröhlich Izor lev. tag dolgozatához: Kritikai megjegyzések az elhajlott fény elméletéhez, ugyanaz német fordításban a Wiedermann Annalenje XXIV. kötetében, 1894. A végszerűen egyenlő területen elméletéhez, ugyanez németül a Berichte aus Ungarn és Mathem. Annalenben); a Mathem. és Physikai Lapokban (1894. A surlódás elméletéhez, 1903. Bolyai János «Ujj, más világának» ismertetése); a Berichte aus Ungarnban (1894. Flössigkeitsstrahlen in incompressiblen reibenslosen Flüssigkeiten, 1896. Über das Princip der kleinsten, 1896. Über das Princip der kleinsten Action, Über das Princip der kleinsten Action und über das von Hamilton); a Mathem. és Természettudom. Értesítőben (1895. A legkisebb actió elvéről, 1896. A legkisebb actio elvéről és a Hamilton-féle elvről, 1897. Súlyos folyadék sugarakról, 1902. Az actio elve és a mechanikai variatio elvek azon osztálya, a melyhez tartozik, széhfoglaló értekezés); a Mathem. Annalenben (LIX. 1905. Das Ostwaldsche Princip vom Energieumsatz in der Mechanik). A Pallas Nagy Lexikonának is munkatársa volt.
Munkái:
1. A diffractio elméletéhez. Bpest, 1874. (Értekezések a mathem. tud. köréből III. 5.).
2. A kerületre redukálható felület egészletek elméletéhez. U. ott, 1874. (Értekezések a mathem. tud. köréből III. 7.).
3. A három méretű homogén tér (u. n. nem euklidikus) síktani trigonometriája. U. ott, 1875. (Értekezések a mathem. tud. köréből IV. 7.).
4. A propeller és peripeller felületek elméletéhez. U. ott, 1875. (Értekezések a mathem. tud. köréből IV. 8.).
5. A fény törése és visszaverése Neumann rendszerének általánosításával és bővítésével, székfoglaló értekezés. U. ott, 1880. (Értekezések a mathem. tud. köréből VII. 15.).
6. A sarkított fényrezgés elhajlító rács által való mozgatásának magyarázata különös tekintettel Fröhlich észleleteire. U. ott, 1880. (Értekezések a mathem. tud. köréből VII. 16.).
7. Folyadék-sugarak. U. ott, 1894. (Értekezések a mathem. tud. köréből XV. 4.).
8. Über schwere Flössigstrahlen. U. ott, 1898. (Különny. a Mathem. és Naturw. Berichte aus Ungarnból).
Kiadta bolyai Bolyai Farkas: «Tentamen juventutum studiosam in elementa matheseos» cz. művének I. kötetét. Bpest, 1897. König Gyulával, a II. kötetét Kürschák és Tötössy társaságában a m. tudom. akadémia megbizásából.
Kőnyomatban: Mechanika. R. és ifj. Szily Kálmán előadásai és gyakorlatai alapján jegyezte Szücs Sándor. Bpest, 1898. 4rét 300 lap; Ugyanaz, jegyzete Windisch Iván, 4rét 288 lap; Ugyanaz, összeálította Enyedi Béla, Bpest, 1904. 8rét 601 lap.
Szinnyei Könyvészete.
Szily Kálmán, A kir. József-műegyetem tanárai és hallgatói. Bpest, 1883. 75. l.
Petrik Könyvészete.
Kiszlingstein Könyvészete.
Egyenlőség 1891. 11. sz.
Zichy Hermann gróf és Derestye Gy. M., Magyar Zsidók a millenniumon. Bpest, 1896. 150. l. arczk.
Pallas Nagy Lexikona XIV. 510. l.
Ország-Világ 1899. 39. sz. arczk.